Question

7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，點(diǎn)D在邊AC上，且點(diǎn)D到邊AB和邊BC的距離相等．
（1）作圖：在AC上求作點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分線的做法得出符合題意的圖形；
（2）直接利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出BC=BE，進(jìn)而得出DC的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖所示：

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，
∵點(diǎn)D到邊AB和邊BC的距離相等，
∴BD平分∠ABC．（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE．（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）
在Rt△CBD和Rt△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}CD=DE\\ BD=BD\end{array}\right.$
∴Rt△CBD≌Rt△EBD（HL），
∴BC=BE．
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴AB²=BC²+AC²．（勾股定理）
∵AC=6cm，AB=10cm，
∴BC=8cm．
∴AE=10-8=2cm．
設(shè)DC=DE=x，
∵AC=6cm，
∴AD=6-x．
∵在△ADE中，∠AED=90°，
∴AD²=AE²+DE²．（勾股定理）
∴（6-x）²=2²+x²．
解得：$x=\frac{8}{3}$．
即CD的長(zhǎng)是$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了基本作圖以及勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．