Question

9．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（0，0）、（1，-1）、（-2，14）三點(diǎn)，
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與直線y=x+t（t≤1），相交于（x₁，y₁），（x₂，y₂）兩點(diǎn)（x₁≠x₂），求：t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線y=ax²+bx+c，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a，b，c的值，即可確定出二次函數(shù)解析式；
（2）因?yàn)槎�次函�?shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與它們組成的方程組的解的個(gè)數(shù)的關(guān)系，可以利用根的判別式解答．

解答 解：（1）設(shè)拋物線y=ax²+bx+c
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（0，0）、（1，-1）、（-2，14）三點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a+b+c=-1}\\{4a-2b+c=14}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\\{c=0}\end{array}\right.$．
則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x²-3x；
（2）①當(dāng)t=1時(shí)，直線y=x+t（t≤1）可化為y=x+1，
代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=2x²-3x得，2x²-4x-1=0，
△=（-4）²-4×2×（-1）=24＞0，
故直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
②當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)t取得最小值，
把y=x+t代入拋物線y=2x²-3x得，2x²-4x-t=0．
△=（-4）²-4×2×（-t）=0，
即t=-2，
故t的取值范圍是-2＜t≤1．

點(diǎn)評(píng) 此題將用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與它們組成的方程組的解的個(gè)數(shù)的關(guān)系以及根的判別式結(jié)合起來(lái)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．