Question

14．圖中是小明設(shè)計(jì)的帶正方形圖案的花邊作品，該作品由形如圖乙的矩形圖案及軸對(duì)稱圖形拼接而成（不重疊，無(wú)縫隙），圖乙中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，兩條平行線AL，CK分別經(jīng)過(guò)正方形頂點(diǎn)H，G和正方形的邊EG，F(xiàn)H的中點(diǎn)P，Q，測(cè)得PG=2cm，則圖乙中兩個(gè)陰影四邊形的面積之和為$\frac{40}{3}$cm²．

Answer 1

分析 如圖，連接HC、EF、GH，EF分別與GH、AL交于O、N．首先證明四邊形ABFE，四邊形EFCD是正方形，由△EHN≌△CHL，推出S_△CHL=S_△ENH，由HO∥AE，推出$\frac{OH}{AE}$=$\frac{ON}{NE}$=$\frac{1}{2}$，
推出OE=$\frac{3}{2}$EN，推出S_△ENH=$\frac{2}{3}$S_△EOH，求出△CHL，△CHQ的面積即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，連接HC、EF、GH，EF分別與GH、AL交于O、N．

∵四邊形ABCD是矩形，AE=ED，BF=FC，
∴AE∥BF，AE=BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，∵∠B=90°，
∴四邊形AEFB是矩形，同理四邊形EFCD是矩形，
∵四邊形EGFH是正方形，
∴GH⊥EF，
∴∠GOF=∠AEF=90°，
∴GH∥AE，
∴$\frac{AE}{GH}$=$\frac{PE}{PG}$=1，
∴AE=ED=GH=EF，
∴四邊形ABFE，四邊形EFCD是正方形，
∴∠FEH=∠EFH=∠HED=45°，
∴E、H、C共線，點(diǎn)H是正方形EDCF的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∵EN∥CL，EH=CH，
∴$\frac{HN}{HL}$=$\frac{EH}{HC}$=$\frac{EN}{CL}$=1，
∴HN=HL，EN=CL，
∴△EHN≌△CHL，
∴S_△CHL=S_△ENH，
∵HO∥AE，
∴$\frac{OH}{AE}$=$\frac{ON}{NE}$=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\frac{3}{2}$EN，
∴S_△ENH=$\frac{2}{3}$S_△EOH，
根據(jù)對(duì)稱性可知，AC=CQ=PH=GQ，F(xiàn)Q=QH，
∴S_△QCH=S_△GQH=$\frac{1}{2}$S_△GHF，
∵PG=PE=2，
∴EG=EH=4，
∴S_△EOH=$\frac{1}{4}$×4²=4，S_△GHF=$\frac{1}{2}$×4²=8，
∴S_△CHL+S_△CHQ=$\frac{2}{3}$×4+4=$\frac{20}{3}$，
∴S_陰=2×$\frac{20}{3}$=$\frac{40}{3}$．
故答案為$\frac{40}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題科學(xué)圖形的拼剪、對(duì)稱軸設(shè)計(jì)圖案、矩形、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題，求出△CHL，△CHQ的面積是解題的突破口，屬于中考�？碱}型．