Question

9．如圖，△ABC是等邊三角形，點D是直線BC上一點，過點D作DM∥AC交直線AB于點M，∠ADE=60°，DE交△ABC的外角∠ACF的平分線CE于點E．
（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：∠1=∠2；
（2）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：AD=DE；
（3）如圖2，當點D在BC延長線上時，求證：∠MAD=∠CDE；
（4）如圖2，當點D在BC延長線上時，求證：AD=DE．

Answer 1

分析 （1）先用三角形的外角和等邊三角形的性質(zhì)即可得出結論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BDM=60°，結合等邊三角形的性質(zhì)即可得出△BMD是等邊三角形，在判斷出△AMD≌△DCE即可；
（3）利用三角形的外角即可；
（4）先判斷出AM=DC，從而得出△AMD≌△DCE即可得出結論．

解答 （1）證明：∵∠1+∠B=∠ADF
∠2+∠ADE=∠ADF
∴∠1+∠B=∠2+ADE
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ADE=60°
∴∠1=∠2               
（2）證明：∵DM∥AC
∴∠BMD=∠BAC=60°
∠BDM=∠BCA=60°
∵∠B=60°
∴∠B=∠BDM=∠BMD
∴△BMD是等邊三角形
∴AB-BM=BC-BD
∴AM=DC                    
在△AMD 和△DCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠AMD=∠DCE}\\{AM=DC}\end{array}\right.$
∴△AMD≌△DCE（ASA）
∴AD=DE                    
（3）證明：∵∠MAD=∠B+∠ADC
∠CDE=∠ADE+∠ADC
∠B=∠ADE=60°
∴∠MAD=∠CDE           
（4）證明：由（2）知，△BMD是等邊三角，
∴BM-AB=BD-BC
∴AM=DC                   
在△AMD 和△DCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠CDE}\\{∠AMD=∠DCE}\\{AM=DC}\end{array}\right.$
∴△AMD≌△DCE（ASA）
∴AD=DE

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解本題的根據(jù)是利用三角形的外角的性質(zhì)得出∠MAD=∠B+∠ADC．