Question

13．觀察圖形
（1）①通過計算幾何圖形的面積可得到一些代數(shù)恒等式，如圖1有一邊長為a的三個小長方形拼成一個大的長方形，得到的代數(shù)恒等式是：a（b+c+d）=ab+ac+ad
②如圖2所得到的恒等式為（　�。�
A．（a-b）²=a²-2ab+b²     B．（a+b）²=a²+2ab+b²
C．2a（a+b）=2a²+2ab      D．（a+b）（a-b）=a²-b²
（2）觀察圖形：如圖3，大長方形是由四個小長方形拼成的，請根據(jù)此圖填空：
x²+（p+q）x+pq=x²+px+qx+pq=（x+p）（x+q）
說理驗證：事實上，我們也可以用如下方法進行變形：
x²+（p+q）x+pq=x²+px+qx+pq=（x²+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）．
于是，我們可以利用上面的方法進行多項式的因式分解或整式計算．
（4）嘗試運用
（1）寫出一個利用如圖4得到的一個恒等式
（2）請利用上述方法將下列多項式分解因式：
①x²+7x+12     ②2x²+5x+3

Answer 1

分析 （1）②根據(jù)圖2中大長方形的面積可以看作是兩個正方形的面積與兩個小長方形的面積的和，并用兩種方法計算其面積從而得到所求等式．
（2）①大長方形的長為（x+p），寬為（x+q），也可看作是一個邊長為x的正方形、及一個長為p寬為x、長為x寬為q、長為p寬為q的三個小長方形拼成的
（4）①此大長方形可以看作長分別為a、b、c，寬分別為d、e的若干個小長方形拼成的．由此可寫出一個等式．
②利用（2）所的幾何證明法進行證明．

解答 （1）如下圖所示：①圖2中S_{四邊形ABCD}=2a²+2ab=2a•（a+b），即2a²+2ab=2a•（a+b），故選C
（2）：①圖3中S_{四邊形ABCD}=x²+px+qx+pq=（p+x）（q+x），即：x²+px+qx+pq=（x+p）（x+q），
事實上利用分組分解法也可證明：x²+（p+q）x+pq=x²+px+qx+pq=（x²+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）                                          
故：答案為：（p+x）（q+x）、x（x+p）+q（x+p）、（x+p）（x+q）
（4）（1）圖④中S_{四邊形ABCD}=3ad+3bd+3cd+5ae+5be+5ce=（a+b+c）（3d+5e），
即：3ad+3bd+3cd+5ae+5be+5ce=（a+b+c）（3d+5e）
（2）①如下圖⑤大長方形的面積=x²+3x+4x+12═x²+7x+12=（x+3）（x+4），
即：x²+7x+12=（x+3）（x+4）
②圖⑥中，大長方形的面積=2x²+x+x+3x+3=2x²+5x+3=（2x+3）（x+1）
即：2x²+5x+3=（2x+3）（x+1）

點評 本題考查了因式分解、圖形的面積、數(shù)形結(jié)合思想等問題，解題的關(guān)鍵是具有能夠把一個代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解的數(shù)學(xué)思想．