Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x軸，且AB=2，AD=4，點A的坐標(biāo)為（2，6）．將矩形ABCD向下平移，平移后的矩形記為A′B′C′D′在平移過程中，有兩個頂點恰好落在反比例函數(shù)圖象上．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）若矩形以每秒一個單位的速度向下平移，矩形的兩邊分別與反比例函數(shù)的圖象交于E，F(xiàn)兩點，矩形被E，F(xiàn)兩點分為上下兩部分，記下部分面積為S，矩形平移時間為t，當(dāng)1＜t＜5時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)E，F(xiàn)分別在A′B′，B′C′上時，將△B′EF沿直線EF翻折使點B′落在邊A′D′上，求此時EF的直線解析式．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意，設(shè)矩形ABCD向下平移后點A的坐標(biāo)是（2，6-x），C的坐標(biāo)是（6，4-x）；然后根據(jù)矩形ABCD平移后A′、C′兩點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上，可得2（6-x）=6（4-x）=k，據(jù)此求出x，即可求出矩形平移后點A的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式求出k的值，即可求出反比例函數(shù)解析式．
（2）首先分別求出當(dāng)點E和點A′重合時，當(dāng)點F和點D′重合時，矩形平移時間各是多少；然后分兩種情況：①1＜t≤3；②3＜t＜5時，分類討論，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可．
（3）首先設(shè)此時EF的直線解析式是y=k′x+b，求出點E的坐標(biāo)是多少，再把點E的坐標(biāo)代入EF的直線解析式，判斷出k′、b的關(guān)系；然后根據(jù)EF⊥B′B″，EB″⊥FB″，求出k′的值，進而求出b的值，確定出此時EF的直線解析式即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，可得
B（2，4），C（6，4），D（6，6），
顯然，平移后A′、C′兩點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上，
設(shè)矩形ABCD向下平移距離為a，
則點A′（2，6-a），點C′（6，4-a），
∵點A′，C′在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴2（6-a）=6（4-a），
解得a=3，
∴矩形平移后A′的坐標(biāo)是（2，3），
∴k=2（6-x）=6（4-x）=k，
整理，可得4x=12，
解得：x=3，
把x=2，y=3代入反比例函數(shù)的解析式，
可得：k=2×3=6，
∴反比例函數(shù)的解析式是y=$\frac{6}{x}$；

（2）當(dāng)點E和點A′重合時，
點E的縱坐標(biāo)是：y=6÷2=3，
矩形平移時間t為：
（6-3）÷1
=3÷1
=3（秒）；
當(dāng)點F和點D′重合時，
點F的縱坐標(biāo)是：y=6÷6=1，
矩形平移時間t為：
（6-1）÷1
=5÷1
=5（秒）；
①如圖1，當(dāng)1＜t≤3時，，
B′F=$\frac{6}{4-t}$-2=$\frac{2t-2}{4-6}$，
B′E=2-（6-3-t）
=t-1
∴S=$\frac{1}{2}×B′F×B′E$
=$\frac{1}{2}（t-1）×\frac{2t-2}{4-t}$
=$\frac{{（t-1）}^{2}}{4-t}$
②如圖2，當(dāng)3＜t＜5時，，
ED′=6-$\frac{6}{6-t}$=$\frac{30-6t}{6-t}$，
D′F=6-t-1=5-t，
∴S=2×4-$\frac{1}{2}×\frac{30-6t}{6-t}×（5-t）$
=$\frac{{3（5-t）}^{2}}{6-t}$
綜上，可得S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{（t-1）}^{2}}{4-t}，（1＜t≤3）}\\{\frac{{3（5-t）}^{2}}{6-t}，（3＜t＜5）}\end{array}\right.$．

（3）如圖3，，
設(shè)點B′關(guān)于EF的對稱點是B″，此時EF的直線解析式是y=k′x+b，
點E的坐標(biāo)是（2，$\frac{6}{2}$），即（2，3），
把（2，3）代入y=k′x+b，
可得2k′+b=3…（1）；
EF與y=$\frac{k}{x}$的兩個交點是E、F，E（2，3），
設(shè)F點的坐標(biāo)是（x，y），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=k′x+b}\end{array}\right.$，
可得k′x²+bx-6=0，
∴2x=-$\frac{6}{k′}$，
解得x=$-\frac{3}{k′}$，y=$\frac{6}{-\frac{3}{k′}}=-2k′$，
即F點的坐標(biāo)是（-$\frac{k′}{3}，-2k′$），B點的坐標(biāo)是（2，-2k′）；
設(shè)B″的坐標(biāo)是（m，-2k′+2），
則$\frac{（2-2k′）-（-2k′）}{m-2}•k′=-1$，
解得m=2-2k′，
即B″的坐標(biāo)是（2-2k′，2-2k′），
∵EB″⊥FB″，
∴$\frac{3-（2-2k′）}{2-（2-2k′）}•\frac{（2-2k′）-（2k′）}{（2-2k′）+\frac{3}{k′}}=-1$，
整理，可得k′²-2k′-2=0，
解得k′=$1±\sqrt{3}$，
∵k′＜0，
∴k′=1-$\sqrt{3}$，
∴b=3-2（1-$\sqrt{3}$）=1$+2\sqrt{3}$，
∴EF的直線解析式是：
y=（1-$\sqrt{3}$）x$+（1+2\sqrt{3}）$．

點評 （1）此題主要考查了反比例函數(shù)綜合題，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了矩形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)的應(yīng)用，以及三角形的面積的求法，和直線的解析式的求法，要熟練掌握．