Question

15．如圖，有一張面積為3的正方形紙片ABCD，M，N分別是AD，BC邊的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折疊至MN上，落在P點(diǎn)的位置，折痕為BQ，連結(jié)PQ，則PQ=1．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的面積求出邊長，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得BP=BC，PQ=CQ，過點(diǎn)Q作QE⊥MN于E，可得四邊形NCQE是矩形，利用勾股定理列式求出PN，再求CN，設(shè)CQ=x，表示出PQ、PE，然后利用勾股定理列方程求出PQ．

解答 解：∵正方形紙片ABCD的面積為3，
∴正方形的邊長為$\sqrt{3}$，
由翻折的性質(zhì)得，BP=BC=$\sqrt{3}$，PQ=CQ，
過點(diǎn)Q作QE⊥MN于E，則四邊形NCQE是矩形，

在Rt△PBN中，由勾股定理得，PN=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∵M(jìn)，N分別是AD，BC邊的中點(diǎn)，
∴CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
設(shè)CQ=x，則PQ=CQ=x，PE=$\frac{3}{2}$-x，
在Rt△PEQ中，由勾股定理得，PE²+EQ²=PQ²，
即（$\frac{3}{2}$-x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=x²，
解得x=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出直角三角形并兩次利用勾股定理．