Question

（1）如圖（1），正方形ABCD的對角線相交于O點，請問圖中有沒有等腰直角三角形？若有，請指出是哪幾個三角形．
（2）如圖（2），在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，DF=EF，C為DE的中點，請問△CGH是等腰直角三角形嗎？并說明理由．
（3）在圖（2）中，已知點C到EF的距離為4，求四邊形CGFH的面積．

Answer 1

考點：等腰直角三角形,正方形的性質

專題：

分析：（1）由正方形ABCD的對角線相交于點O，可得等腰直角三角形有：△ABC，△BCD，△ACD，△ABD，△OAB，△OBC，△OCD，△OAD．
（2）根據(jù)在等腰直角△DEF中，∠DFE=90°，DF=EF，利用C是DE中點∠D=∠DFC=∠HFC=45°，即可證明：△DCG≌△FCH，得出CG=CH，即可證明△CGH是等腰直角三角形．
（3）根據(jù)四邊形CGFH的面積=S_△FCG+S_△FCH=S_△FCG+S_△DCG=S_△DFC=

1

2

S_△DEF，即可求得四邊形CGFH的面積．

解答：（1）解：如圖（1），∵正方形ABCD的對角線相交于點O，
∴等腰直角三角形有：△ABC，△BCD，△ACD，△ABD，△OAB，△OBC，△OCD，△OAD；

（2）證明：連接CF，在等腰直角△DEF中，∠DFE=90°，DF=EF，
∴∠D=∠E=45°，
又∵C是DE中點，
∴∠DFC=∠EFC=45°，
即∠D=∠DFC=∠HFC=45°，且DC=CF，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCG+∠GCF=∠HCF+∠GCF=90°，
∴∠DCG=∠HCF，
在△DCG與△FCH中，

∠DCG=∠HCF DC=CF ∠D=∠EFC

，
∴△DCG≌△FCH（ASA）；
∴CG=CH，
∴△CGH是等腰直角三角形．
（3）解：∵△DCG≌△FCH，
∴四邊形CGFH的面積=S_△FCG+S_△FCH=S_△FCG+S_△DCG=S_△DFC=

1

2

S_△DEF，
∴C到EF的距離為4，C為DE的中點，
∴DF=EF=8，
∴S_△DEF=

1

2

×8×8=32，
∴四邊形CGFH的面積=

1

2

S_△DEF=

1

2

×32=16．

點評：此題主要考查了正方形的性質，考查了學生對全等三角形的判定與性質和等腰直角三角形的理解和掌握，稍微有點難度，屬于中檔題．