Question

1．已知線段AB，若點(diǎn)P在AB上且AP：PB=1：$\sqrt{2}$，則稱(chēng)點(diǎn)P為AB的“白銀分割點(diǎn)”．
（1）如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠A=90°，CP是角平分線，求證：點(diǎn)P是AB的“白銀分割點(diǎn)”．
（2）四位同學(xué)分別設(shè)計(jì)了作AB“白銀分割點(diǎn)”P(pán)的方法．
①如圖②，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，D在AC上，P在AB上，CD=CB，AP=AD；
②如圖③，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，P在AB上，BP=BC；
③如圖④，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，D在BA延長(zhǎng)線上，AD=AB，E，P在DB上，DE=EP=AC；
④如圖⑤，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在CD，BC上，CE：CF=1：$\sqrt{2}$，四邊形EFGH是正方形，射線CG交AB于P．
這四位同學(xué)作圖正確的是③④．（填寫(xiě)題號(hào)）
（3）如圖⑥，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方法，畫(huà)出AB的“白銀分割點(diǎn)”P(pán)．（工具不限，寫(xiě)出畫(huà)法，不需證明）

Answer 1

分析 （1）如圖①，過(guò)P作PD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=45°，推出△PBD是等腰直角三角形，得到PD：PB=1：$\sqrt{2}$，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PA=PD，于是得到結(jié)論；
（2）①由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BC，AC=$\sqrt{2}$AB，設(shè)AP=AD=x，PB=y，求得$\frac{x}{y}$=1，得到AP：PB=1：1，于是得到這位同學(xué)的作圖錯(cuò)誤；
②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC，AB=$\sqrt{2}$BC，設(shè)AP=x，PB=BP=y，則AB=x+y，得到AP：PB=$\sqrt{2}$-1，于是得到這位同學(xué)的作圖錯(cuò)誤；
③根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，設(shè)AP=x，PB=y，得到$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，于是得到這位同學(xué)的作圖正確；
④根據(jù)已知條件得到設(shè)CE=1，CF=$\sqrt{2}$，過(guò)G作GH⊥BC于H，于是得到FH=CE=1，HG=CF=$\sqrt{2}$，設(shè)PA=x，PB=y，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，于是得到這位同學(xué)的作圖正確；
（3）作∠CAB的角平分線AH交BC于H，過(guò)H作HP∥AC交AB于P，于是得到AP：PB=1：$\sqrt{2}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖①，過(guò)P作PD⊥BC于D，
∵，△ABC為等腰直角三角形，∠A=90°，
∴∠B=45°，
∴△PBD是等腰直角三角形，
∴PD：PB=1：$\sqrt{2}$，
∵CP是角平分線，
∴PA=PD，
∴PA：PB=1：$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)P是AB的“白銀分割點(diǎn)”；

（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB=BC，AC=$\sqrt{2}$AB，
設(shè)AP=AD=x，PB=y，
則AB=BC=x+y，AC=$\sqrt{2}$（x+y），
∵AC=AD+CD=AP+BC=2x+y，
∴$\sqrt{2}$（x+y）=2x+y，
∴$\frac{x}{y}$=1，
∴AP：PB=1：1，
∴這位同學(xué)的作圖錯(cuò)誤；

②∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，AB=$\sqrt{2}$BC，
設(shè)AP=x，PB=BP=y，
則AB=x+y，
∴x+y=$\sqrt{2}$
∴x：y=$\sqrt{2}$-1，
∴AP：PB=$\sqrt{2}$-1，
∴這位同學(xué)的作圖錯(cuò)誤；

③∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
設(shè)AP=x，PB=y，
∴AD=AB=x+y，
∴PD=2x+y，
∴AC=$\frac{PD}{2}$=$\frac{2x+y}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y），
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴這位同學(xué)的作圖正確；

④∵CE：CF=1：$\sqrt{2}$，
∴設(shè)CE=1，CF=$\sqrt{2}$，
過(guò)G作GH⊥BC于H，
則△CEF≌△HGF，
∴FH=CE=1，HG=CF=$\sqrt{2}$，
設(shè)PA=x，PB=y，
∴BC=AB=x+y，
∵GH∥AB，
∴△CGH∽△CPB，
∴$\frac{HG}{PB}=\frac{CH}{BC}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{y}=\frac{\sqrt{2}+1}{x+y}$，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴這位同學(xué)的作圖正確；
故答案為：③④；

（3）作∠CAB的角平分線AH交BC于H，過(guò)H作HP∥AC交AB于P，
則AP：PB=1：$\sqrt{2}$，
即點(diǎn)P是AB的“白銀分割點(diǎn)”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解“白銀分割點(diǎn)”是解題的關(guān)鍵．