Question

18．已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)C為拋物線上一動點(diǎn)，以C為圓心，BC為半徑的圓交x軸于M、N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)）．

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時，求此時點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上運(yùn)動時，弦MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出弦MN的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）²，然后將（0，1）代入可求得a的值，從而可求得二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求圓的半徑，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，連接BC、CN，由勾股定理可知HC²=CN²-CH²=BC²-CH²，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得HN=2，結(jié)合垂徑定理可求得MN的長；

解答 解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）²．
∵將（0，1）代入得：4a=1，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-2）²．
（2）AB=$\sqrt{（2-2）^{2}+（2-0）^{2}}$=2，
M的坐標(biāo)為（2-2，0），即（0，0），
N的坐標(biāo)為（2+2，0），即（4，0）；
（3）MN的長不發(fā)生變化．
理由：如圖所示，過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，連接BC、CN．

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{4}$（a-2）²）．
∵CH⊥MN，
∴MH=HN．
∵HN²=CN²-CH²=CB²-CH²，
∴HN²=[2-$\frac{1}{4}$（a-2）2]²+（a-2）²-[$\frac{1}{4}$（a-2）2]²=4．
∴HN=2．
∴MN=4．
∴MN不發(fā)生變化．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)函數(shù)的解析式、垂徑定理、兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理，綜合性較強(qiáng)，難度中等．