Question

8．問(wèn)題背景：
如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系．
小吳同學(xué)探究此問(wèn)題的思路是：將△BCD繞點(diǎn)D，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)A，E處（如圖②），易證點(diǎn)C，A，E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$CD，從而得出結(jié)論：AC+BC=$\sqrt{2}$CD．
簡(jiǎn)單應(yīng)用：
（1）在圖①中，若AC=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，則CD=3．
（2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙上，$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，若AB=13，BC=12，求CD的長(zhǎng)．
拓展規(guī)律：
（3）如圖④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的長(zhǎng)（用含m，n的代數(shù)式表示）
（4）如圖⑤，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E滿足AE=$\frac{1}{3}$AC，CE=CA，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是$\sqrt{2}$PQ=$\frac{1+\sqrt{35}}{6}$AC或$\sqrt{2}$PQ=$\frac{\sqrt{35}-1}{6}$AC．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，所以將AC與BC的長(zhǎng)度代入即可得出CD的長(zhǎng)度；
（2）連接AC、BD、AD即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第（1）問(wèn)的問(wèn)題，利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長(zhǎng)度；
（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D₁，由（2）問(wèn)題可知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD₁；又因?yàn)镃D₁=D₁D，所以利用勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)度；
（4）根據(jù)題意可知：點(diǎn)E的位置有兩種，分別是當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)和當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí)，連接CQ、CP后，利用（2）和（3）問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行解答．

解答 解：（1）由題意知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
∴$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=3；

（2）連接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
將△BCD繞點(diǎn)D，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，如圖③，
∴∠EAD=∠DBC，
∵∠DBC+∠DAC=180°，
∴∠EAD+∠DAC=180°，
∴E、A、C三點(diǎn)共線，
∵AB=13，BC=12，
∴由勾股定理可求得：AC=5，
∵BC=AE，
∴CE=AE+AC=17，
∵∠EDA=∠CDB，
∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，
即∠EDC=∠ADB=90°，
∵CD=ED，
∴△EDC是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$；

（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D₁，
連接D₁A，D₁B，D₁C，如圖④
由（2）的證明過(guò)程可知：AC+BC=$\sqrt{2}$D₁C，
∴D₁C=$\frac{\sqrt{2}（m+n）}{2}$，
又∵D₁D是⊙O的直徑，
∴∠DCD₁=90°，
∵AC=m，BC=n，
∴由勾股定理可求得：AB²=m²+n²，
∴D₁D²=AB²=m²+n²，
∵D₁C²+CD²=D₁D²，
∴CD=m²+n²-$\frac{（m+n）^{2}}{2}$=$\frac{（m-n）^{2}}{2}$，
∵m＜n，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}（n-m）}{2}$；

（4）當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí)，如圖⑤，
連接CQ，PC，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，
∴AP=CP，∠APC=90°，
又∵CA=CE，點(diǎn)Q是AE的中點(diǎn)，
∴∠CQA=90°，
設(shè)AC=a，
∵AE=$\frac{1}{3}$AC，
∴AE=$\frac{1}{3}$a，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{6}a$，
由勾股定理可求得：CQ=$\frac{\sqrt{35}}{6}$a，
由（2）的證明過(guò)程可知：AQ+CQ=$\sqrt{2}$PQ，
∴$\sqrt{2}$PQ=$\frac{1}{6}$a+$\frac{\sqrt{35}}{6}$a，
∴$\sqrt{2}$PQ=$\frac{1+\sqrt{35}}{6}$AC；

當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)時(shí)，如圖⑥，
連接CQ、CP，
同理可知：∠AQC=∠APC=90°，
設(shè)AC=a，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{6}a$，
由勾股定理可求得：CQ=$\frac{\sqrt{35}}{6}$a，
由（3）的結(jié)論可知：PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（CQ-AQ），
∴$\sqrt{2}$PQ=$\frac{\sqrt{35}-1}{6}$AC．
綜上所述，線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是$\sqrt{2}$PQ=$\frac{1+\sqrt{35}}{6}$AC或$\sqrt{2}$PQ=$\frac{\sqrt{35}-1}{6}$AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問(wèn)題，每一問(wèn)都緊扣著前一問(wèn)的結(jié)論，涉及勾股定理、圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是就利用好已證明的結(jié)論來(lái)進(jìn)行解答，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．