Question

6．如圖①，平行四邊形紙條ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，請觀察從圖①到圖②的操作過程，并按要求解答下列問題．

（1）在圖①中，有多少個平行四邊形（平行四邊形ABCD除外），并選擇其中一個給予證明；
（2）從圖②中可看出，沿EF對折后，D與B重合，試問平行四邊形ABCD除一般平行四邊形所應有的性質外，它還具備有什么特有性質？（不必說明理由）；
（3）在圖②中，若再沿AF對折，要使點E與點B（或D）重合，那么平行四邊形ABCD還應增加什么條件？請合情合理地說明之．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出AD=BC，AD∥BC，由中點的定義得出AE=DE=BF=CF，即可得出結論；
（2）由折疊的性質得：EF⊥BD，由平行四邊形的性質得出AB∥EF∥CD，即可得出BD⊥CD，BD⊥AB；
（3）由折疊的性質得出AE=AB，由AD=2AE，即可得出AD=2AB．

解答 解：（1）有3個平行四邊形（平行四邊形ABCD除外），平行四邊形ABFE、平行四邊形CDEF、平行四邊形AFCE；理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E、F分別是AD、BC的中點，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD，BF=CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=DE=BF=CF，
∴四邊形ABFE、四邊形CDEF、四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）平行四邊形ABCD還具備EF⊥BD，BD⊥CD，BD⊥AB的性質；理由如下：
∵沿EF對折后，D與B重合，
∴由折疊的性質得：EF⊥BD，
∵四邊形ABFE、四邊形CDEF是平行四邊形，
∴AB∥EF∥CD，
∴BD⊥CD，BD⊥AB；
（3）還需要增加條件AD=2AB；理由如下：
∵沿AF對折，使點E與點B（或D）重合，即B與E關于AF對稱，
則AE=AB，
∵AD=2AE，
∴AD=2AB．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的判定與性質、折疊的性質、中點的定義等知識；本題綜合性強，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解決問題的關鍵．