Question

11．操作與探究
綜合實(shí)踐課，老師把一個足夠大的等腰直角三角尺AMN靠在一個正方形紙片ABCD的一側(cè)，使邊AM與AD在同
一直線上（如圖1），其中∠AMN=90°，AM=MN．
（1）猜想發(fā)現(xiàn)
老師將三角尺AMN繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α．如圖2，當(dāng)0＜α＜45°時，邊AM，AN分別與直線BC，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)EF．小明同學(xué)探究發(fā)現(xiàn)，線段EF，BE，DF滿足EF=BE-DF；如圖3，當(dāng)45°＜α＜90°時，其它條件不變．
①填空：∠DAF+∠BAE=45度；
②猜想：線段EF，BE，DF三者之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+DF．
（2）證明你的猜想；
（3）拓展探究
在45°＜α＜90°的情形下，連結(jié)BD，分別交AM，AN于點(diǎn)G，H，如圖4連結(jié)EH，試證明：EH⊥AN．

Answer 1

分析 （1）①由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；             
②由全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；
（2）延長CB至點(diǎn)K，使BK=DF，連結(jié)AK，由SAS證明△ABK≌△ADF，得出AK=AF，∠BAK=∠DAF．由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠MAN=∠N=45°，即可證出∠DAF+∠BAE=45°．證出∠EAF=∠EAK．由SAS證明△AEF≌△AEK，得出EF=EK．即可得出EF=BE+DF．
（3）連結(jié)AC．證明△ADH∽△ACE．得出$\frac{AD}{AH}=\frac{AC}{AE}$，再證明△ADC∽△AHE．得出∠ADC=∠AHE=90°．即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：①∠DAF+∠BAE=45°；
故答案為：45；             
②線段EF，BE，DF三者之間的數(shù)量關(guān)系是EF=BE+DF；
故答案為：EF=BE+DF；
（2）證明：如圖3，延長CB至點(diǎn)K，使BK=DF，連結(jié)AK．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABK=∠D=90°．
在△ABK和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABK=∠D}&{\;}\\{BK=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△ADF（SAS），
∴AK=AF，∠BAK=∠DAF．
∵∠AMN=90°，AM=MN，
∴∠MAN=∠N=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°．
∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠EAK．
在△AEF和△AEK中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AK}&{\;}\\{∠EAF=∠EAK}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEK（SAS）．
∴EF=EK．
∴EF=BE+DF．
（3）證明：如圖4，連結(jié)AC．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACE=∠ADH=∠CAD=45°．
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠CAD=45°．
∴∠CAE=∠DAH，
∴△ADH∽△ACE．
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AH}{AE}$．
∴$\frac{AD}{AH}=\frac{AC}{AE}$，
又∵∠CAD=∠EAF=45°，
∴△ADC∽△AHE．
∴∠ADC=∠AHE=90°．
∴EH⊥AN．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．