Question

17．如圖，△ABC外接圓⊙O半徑為r，BE⊥AC于E，AD⊥BC于D，BE、AD交于點(diǎn)K，AK=r，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

分析 連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)G，連接BG，由∠G+∠BAG=∠C+∠CAD=90°知∠BAG=∠CAD，進(jìn)而可得RT△ABG∽R(shí)T△AEK，由相似形性質(zhì)有$\frac{AB}{AE}=\frac{AG}{AK}$=2，即AB=2AE，從而可知∠BAC的度數(shù)．

解答 解：如圖，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)G，連接BG，

∵AG是⊙O直徑，
∴∠G+∠BAG=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
又∵∠G=∠C，
∴∠BAG=∠CAD，
∵BE⊥AC，
∴∠ABG=∠AEK=90°，
∴△ABG∽△AEK，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AG}{AK}$=$\frac{2r}{r}$=2，
則AB=2AE，
在RT△ABE中，∠ABE=30°，
∴∠BAC=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，將角的大小問題轉(zhuǎn)化為邊的長度比，通過證兩三角形相似得出線段的比是解題的關(guān)鍵．