Question

9．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以CD為直徑作⊙O，⊙O與邊BC相交于點F，⊙O的切線DE與邊相交于點E，且AE=3EB．
（1）求證：△ADE∽△CDF．
（2）當(dāng)CF：FB=1：2，且DF=4$\sqrt{3}$時，求⊙O直徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠DEA=∠DFC，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（2）設(shè)CF=x，F(xiàn)B=2x，則BC=3x，設(shè)EB=y，則AE=3y，AB=4y，根據(jù)相似得出$\frac{3y}{3x}$=$\frac{x}{4y}$，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2$\sqrt{3}$y，可得y，易得AB．

解答 （1）證明：∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DFC=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠DFC=90°，
∵DE為⊙O的切線，
∴DE⊥DC，
∴DE⊥AB，
∴∠DEA=∠DFC=90°，
∵∠A=∠C，
∴△ADE∽△CDF；

（2）解：∵CF：FB=1：2，
∴設(shè)CF=x，F(xiàn)B=2x，則BC=3x，
∵AE=3EB，
∴設(shè)EB=y，則AE=3y，AB=4y，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，
∵△ADE∽△CDF，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{3y}{3x}=\frac{x}{4y}$，
∵x、y均為正數(shù)，
∴x=2y，
∴BC=6y，CF=2y，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
由勾股定理得：DF=$\sqrt{{DC}^{2}{-CF}^{2}}$=$\sqrt{{（4y）}^{2}{-（2y）}^{2}}$=2$\sqrt{3}$y，
∵DF=4$\sqrt{3}$，
∴y=2，
∴CD=AB=4y=4×2=8．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解答此題的關(guān)鍵．