Question

11．已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點E，且BE²-EA²=AC²，
①求證：∠A=90°．
②若DE=3，BD=4，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接CE，由線段垂直平分線的性質(zhì)可求得BE=CE，再結(jié)合條件可求得EA²+AC²=CE²，可證得結(jié)論；
（2）在Rt△BDE中可求得BE，則可求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理結(jié)合已知條件可得到關(guān)于AE的方程，可求得AE．

解答 （1）證明：
連接CE，如圖，

∵D是BC的中點，DE⊥BC，
∴CE=BE…（2分）
∵BE²-EA²=AC²，
∴CE²-EA²=AC²，
∴EA²+AC²=CE²，
∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；
（2）解：
∵DE=3，BD=4，
∴BE=$\sqrt{D{E}^{2}+B{D}^{2}}$=5=CE，
∴AC²=EC²-AE²=25-EA²，
∵BC=2BD=8，
∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC²-BA²=64-（5+EA）²=AC²，
∴64-（5+AE）²=25-EA²，解得AE=$\frac{7}{5}$．

點評 本題主要考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵，注意方程思想在這類問題中的應(yīng)用．