Question

2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是BC上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠DAE=45°．
（1）求證：BD+EC＞DE；
（2）若BD=2，EC=4，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 根據(jù)翻折變換的性質(zhì)易得△AFD≌△ABD；根據(jù)SAS可證△AFE≌△ACE；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：BD+EC=DF+FE＞DE，∠DFE=∠DFA+∠EFA=∠B+∠C=90°，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）把△ABD沿著AD折疊，得到△ADF，連接EF，則△AFD≌△ABD，
∴AB=AF，BD=FD，∠B=∠DFA，∠BAD=∠FAD，
∵AB=AC，
∴AF=AC，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，∠FAD+∠FAE=45°，
∴∠FAE=∠CAE，
在△AFE與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC\\;}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△ACE，
∴EF=EC，
∵△DEF中，DF+EF＞DE，
∴BD+EC＞DE；

（2）∵△AFE≌△ACE，
∴∠AFE=∠C=45°，
又∵∠AFD=∠B=45°，
∴∠DFE=∠DFA+∠EFA=∠B+∠C=90°，
即△DEF是直角三角形，
∴DE=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$，
又∵DF=BD=2，EF=EC=4，
∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系的綜合應(yīng)用，根據(jù)翻折變換證得△AFD≌△ABD和△AFE≌△ACE是解題的關(guān)鍵．本題也可以運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行求解．