Question

4．如圖，ABCD是平行四邊形，P是CD上一點(diǎn)，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA．
（1）求證：AP⊥PB；
（2）如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB即可；
（2）求出AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB，即可求出答案．

解答 證明：（1）∵ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CB．∴∠DAB+∠CBA=180°．
又∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠CBA）=90°．
在△APB中，∵∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°．
∴AP⊥PB；

（2）∵AP平分∠DAB且AB∥CD，
∴∠DAP=∠PAB=∠DPA．
∴△ADP是等腰三角形．
∴AD=DP=5cm．
同理，PC=CB=5cm．
∴AB=DP+PC=10cm．
在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm，
∴BP=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6（cm）．
∴△APB的周長(zhǎng)是6+8+10=24（cm）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．