Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-1，3）、（-4，1），先將線段AB沿一確定方向平移得到線段A₁B₁，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A₁，點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（0，2），在將線段A₁B₁繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A₂B₂，點(diǎn)A₁的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A₂．
（1）畫出線段A₁B₁、A₂B₂；
（2）求在這兩次變換過程中，點(diǎn)A經(jīng)過的路線的長度；
（3）求在這兩次變換過程中線段AB所掃過的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換,弧長的計算,扇形面積的計算,作圖-平移變換

專題：作圖題

分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B平移后的對應(yīng)點(diǎn)A₁、B₁的位置，然后連接即可；再找出點(diǎn)A₂、B₂的位置，然后連接即可；
（2）利用勾股定理列式求出AA₁，OA₁，再利用弧長公式列式計算即可得解；
（3）根據(jù)AB掃過的面積等于平行四邊形的面積加上兩個扇形的面積的差，列式計算即可得解．

解答：解：（1）線段A₁B₁、A₂B₂如圖所示；

（2）由勾股定理得，AA₁=

12+42

=

17

，
OA₁=

32+42

=5，
點(diǎn)A經(jīng)過的路線的長度=

17

+

90•π•5

180

=

17

+

5

2

π；

（3）AB向右平移3個單位，向上平移1個單位，
AB平移到A₁B₁掃過的面積=3×1=3，
線段A₁B₁旋轉(zhuǎn)到A₂B₂所掃過的面積=

90•π•52

360

=

25

4

π，
所以，這兩次變換過程中線段AB所掃過的面積為

25

4

π+3．

點(diǎn)評：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變化作圖，弧長的計算，扇形的面積，難點(diǎn)在于（3）中線段掃過的面積的計算．