Question

某公司臨街的外墻上有一塊三角形的墻面（如圖所示）發(fā)生破損現(xiàn)象，公司領(lǐng)導(dǎo)讓工人師傅做一個圓形廣告牌，將破損面全部覆蓋住，工人師傅量的∠B=45°，∠C=30°，AB=4m，考慮到成本問題，應(yīng)使所做的廣告牌盡可能小，同學(xué)曉敏認(rèn)為，作△ABC的外接圓，即可能得到滿足要求的廣告牌．
（1）請幫助小敏同學(xué)計算廣告牌的面積；
（2）你認(rèn)為小敏同學(xué)的意見正確嗎？說說你的看法．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：探究型

分析：（1）作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB，如圖1，根據(jù)圓周角定理可得∠AOB=60°，從而可得到△OAB是等邊三角形，就可得到⊙O的半徑，就可解決問題．
（2）易得△ABC是鈍角三角形，以鈍角所對的邊為直徑圓能將該三角形覆蓋，通過計算就可得到以BC為直徑的圓⊙O′是將△ABC完全覆蓋且面積最小的圓．

解答：解：（1）作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB，如圖1．
∵∠C=30°，
∴∠AOB=2∠C=60°．
∵OA=OB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴OA=OB=AB=4，
∴S_⊙O=π•OA²=16π．
∴小敏同學(xué)設(shè)計廣告牌的面積為16π平方米．

（2）我認(rèn)為小敏同學(xué)的意見不正確．
∵∠B=45°，∠C=30°，
∴∠BAC=105°，
∴△ABC是鈍角三角形，
∴以BC為直徑的圓⊙O′可以將△ABC完全覆蓋．
過點A作AH⊥BC于H，
∵AB=4，∠B=45°，∠AHB=90°，
∴AH=AB•sinB=4×

2

2

=2

2

，
BH=AB•cosB=4×

2

2

=2

2

，
在Rt△AHC中，
∵tanC=

AH

HC

，∠C=30°，AH=2

2

，
∴HC=2

6

，
∴BC=BH+HC=2

2

+2

6

，
∴O′B=

2

+

6

，
∴S_⊙O′=π•O′B²=π×（

2

+

6

）²=（8+4

3

）π．
∵

3

＜2，∴4

3

＜8，
∴8+4

3

＜16，
∴S_⊙O′＜S_⊙O，
∴以BC為直徑的圓⊙O′是將△ABC完全覆蓋且面積最小的圓．

點評：本題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓的面積公式等知識，由本題可以總結(jié)以下經(jīng)驗：能夠?qū)�銳角三角形（或直角三角形）完全覆蓋的最小的圓是該三角形的外接圓，能夠?qū)⑩g角三角形完全覆蓋的最小的圓是以鈍角所對的邊為直徑的圓．