Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）連接BC，若AB=12cm，∠ABC=60°，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥CD，而AD⊥CD，則AD∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)有∠2=∠3，加上∠1=∠3，所以∠1=∠2，因此可判斷AC平分∠DAB；
（2）根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，則利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出BC=

1

2

AB=6，AC=

3

BC=6

3

，然后在Rt△ADC中計(jì)算出CD．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠1=30°，
∴BC=

1

2

AB=6，
∴AC=

3

BC=6

3

，
在Rt△ADC中，∵∠2=∠1=30°，
∴CD=

1

2

AC=3

3

（cm）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了平行線的判定與性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．