Question

18．如圖，拋物線y=-x²+mx+n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，y與軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．已知A（-1，0），C（0，3）
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在P點(diǎn)，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，
①求直線BC 的解析式；
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出m、n的值即可；
（2）如圖1中，分兩種情形討論①當(dāng)PD=DC時(shí)，當(dāng)CP=CD時(shí)，分別寫出點(diǎn)P坐標(biāo)即可．
（3）先求出BC的解析式，設(shè)出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，由四邊形CDBF的面積=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n經(jīng)過A（-1，0），C（0，2）．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）如圖1，∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=$\frac{3}{2}$．
∴OD=$\frac{3}{2}$．
∵C（0，3），
∴OC=23
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=$\frac{5}{3}$．
∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃．
作CH⊥x軸于H，
∴HP₁=HD=2，
∴DP₁=4．
∴P₁（$\frac{3}{2}$，4），P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{3}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{3}$）；
（3）當(dāng)y=0時(shí)，0=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得
$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+2．
如圖2，過點(diǎn)C作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），F(xiàn)（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），
∴EF=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}$a+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a（0≤x≤4）．
∵S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$EF•CM+$\frac{1}{2}$EF•BN，
=$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}$×2+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a²+2a），
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$（0≤x≤4）．
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$
∴a=2時(shí)，S_{四邊形CDBF的面積最大}=$\frac{13}{2}$，
∴E（2，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，四邊形的面積的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．