Question

2．如圖，△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，F(xiàn)，求證：
（1）∠FDE=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

Answer 1

分析 （1）連接IE，IF，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得出∠AEI和∠AFI等于90°，再由四邊形內(nèi)角和求出∠EIF，由圓周角定理即可得出結(jié)果；
（2）由內(nèi)心的性質(zhì)得出∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．

解答 證明：（1）連接IE，IF，如圖所示：
∵內(nèi)切圓I和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∴∠EIF=360°-90°-90°-∠A=180°-∠A，
∴∠FDE=$\frac{1}{2}$∠EIF=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BIC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，圓周角定理；熟練掌握三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，注意輔助線的作法．