Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=-$\frac{3}{16}a{x}^{2}$+$\frac{5}{8}ax$+3a（a≠0）與x軸交于點A和點B（點A在點B的左側），與y軸的正半軸交于點C，且OB=OC．
（1）求a的值；
（2）點D為OB中點，點E為OC中點，點F在y軸的負半軸上，點G在線段FD的延長線上，連接GE、ED，若FD=DG，且S_△GED=$\frac{27}{2}$，求點G的坐標；
（3）在（2）的條件下，點P在線段OB上，點Q在線段OC的延長線上，且CQ=BP．連接PQ和BC交于點M，連接GM并延長GM交拋物線于點N，連接QN、GP和GB，若∠QPG-∠NQO=∠NQP-∠PGB時，求線段NQ的長．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得點A、B的坐標，將x=0代入拋物線的解析式得求得點C（0，3a），然后根據(jù)OB=0C可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）連接GB．首先依據(jù)SAS證明△ODF≌△GDB，從而得到BG=OF，接下來依據(jù)S_△GED=$\frac{27}{2}$可求得EF的長，從而得到BG的長，故此可得到點G的坐標；
（3）過點P作PT∥y軸，交BC與點T，過點N作NR⊥y軸，垂足為R．先證明TP=PB=CQ，然后依據(jù)ASA證明△PTM≌△QCM，于是可得到PM=QM，然后再證明△NMQ≌△GMP，于是得到NQ=GP，然后再△QNR≌△GPB，從而可求得NR=OR，設N（t，-$\frac{3}{8}$t²+$\frac{5}{4}$t+6），由NR=OR列出關于t的方程，從而可求得NR的值，最后在Rt△NRQ中，依據(jù)勾股定理可求得QN的值．

解答 解：（1）將y=0代入得：-$\frac{3}{16}a{x}^{2}$+$\frac{5}{8}ax$+3a=0，
∵a≠0，
∴$-\frac{3}{16}$x²+$\frac{5}{8}$x+3=0．
解得：x₁=-$\frac{8}{3}$，x₂=6．
∴A（-$\frac{8}{3}$，0）、B（6，0）．
∴0B=6．
∵將x=0代入拋物線的解析式得：y=3a，
∴C（0，3a）．
∴OC=3a．
∵OB=0C，
∴3a=6．
解得：a=2．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{5}{4}$x+6．
（2）如圖1所示：連接GB．

∵E、D分別是OC、0B的中點，
∴OE=3，OD=BD．
在△ODF和△GDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=BD}\\{∠ODF=∠BDG}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴△ODF≌△GDB．
∴BG=OF，∠GBD=∠FOD=90°．
∵S_△EDG=S_△EFG-S_△EFD，
∴$\frac{1}{2}$EF•OB-$\frac{1}{2}$EF•OD=$\frac{27}{2}$，即3EF-$\frac{3}{2}$EF=$\frac{27}{2}$，解得：EF=9．
∴OF=EF-OE=9-3=6．
∴BG=6．
∴G（6，6）．
（3）如圖2所示：過點P作PT∥y軸，交BC與點T，過點N作NR⊥y軸，垂足為R．

∵TP∥OQ，
∴∠MPT=∠MQC，∠PTM=∠QCM，
∵OB=0C=6，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠PBT=∠PTB=45°，
∴PT=PB=CQ，
在△PTM和△QCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPT=∠MQC}\\{PT=CQ}\\{∠PTM=∠QCM}\end{array}\right.$，
∴△PTM≌△QCM，
∴PM=QM，
∵GB⊥x軸，
∴BG∥y軸∥PT，
∴∠BGP=∠TPG．
∵∠QPG-∠NQO=∠NQP-∠PGB，
∴∠QPT+∠TPG-∠NQO=∠NQO+∠OQP-∠PCB，
∵∠QPT=∠OQP，∠TPG=∠PGB，
∴2∠TPG=2∠NQO，
∴∠TPG=∠NQO，
∴∠NQP=∠GPQ，
在△NMQ和△GMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NQP=∠GPQ}\\{∠NMQ=∠GMP}\\{MQ=MP}\end{array}\right.$，
∴△NMQ≌△GMP．
∴NQ=GP．
在Rt△QNR和Rt△GPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGP=∠NQO}\\{∠QRN=∠GBP=90°}\\{NQ=GP}\end{array}\right.$，
∴△QNR≌△GPB．
∴QM=BG=6，NR=PB=CQ．
設N（t，-$\frac{3}{8}$t²+$\frac{5}{4}$t+6）．
∵QO=QC+C0=QR+RO，
∴QC=RO，
∴NR=RO，
∴-t=-$\frac{3}{8}$t²+$\frac{5}{4}$t+6，解得：t₁=-2，t₂=8（舍去）．
∴NR=2．
在Rt△NRQ中，NQ=$\sqrt{N{R}^{2}+Q{R}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
∴線段NQ的長為2$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質、勾股定理、全等三角形的性質和判定，函數(shù)圖象與坐標軸的交點，證得△PTM≌△QCM、△NMQ≌△GMP、△QNR≌△GPB，從而可求得NR=OR，然后依據(jù)NR=OR列出關于t的方程是解題的關鍵．