Question

19．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，點E時AD邊的中點，點M時AB邊上的一個動點（不與點A重合），延長ME交CD的延長線于點N，連接MD，AN．
（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形．
（2）填空：①當AM的值為1時，四邊形AMDN是矩形；
②當AM的值為2時，四邊形AMDN是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據菱形的性質可得ND∥AM，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根據中點的定義求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明△NDE和△MAE全等，根據全等三角形對應邊相等得到ND=MA，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；
（2）①根據矩形的性質得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得出結果；
②根據菱形的性質得到AN=DN，證得△ADN為等邊三角形，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
∵點E是AD中點，
∴DE=AE，
在△NDE和△MAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠MAE}\\{∠DNE=∠AME}\\{DE=AE}\end{array}\right.$，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴ND=MA，
∴四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）①AM=1時，四邊形AMDN是矩形；理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2，
∵平行四邊形AMDN是矩形，
∴DM⊥AB，
即∠DMA=90°，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=1；
②當AM=2時，四邊形AMDN是菱形；理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2，
∵平行四邊形AMDN是菱形，
∴AN=DN，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADN=60°，
∴△ADN為等邊三角形，
∴AM=DN=AD=2．

點評 本題考查了菱形的性質、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質、矩形的性質、等邊三角形的判定與性質等知識；熟練掌握三角形全等與證明等邊三角形是解決問題的關鍵．