Question

9．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＜90°，P為該菱形對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，Q為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若AC=30，PC+PQ的最小值為24，求菱形ABCD的邊長（要求在備用圖中畫出必要的圖形）

Answer 1

分析 菱形ABCD中，由點(diǎn)A，C關(guān)于BD對(duì)稱，過A作AQ⊥BC于Q，交BD于P，于是得到AQ=PC+PQ的最小值=24，根據(jù)勾股定理得到CQ=$\sqrt{A{C}^{2}-A{Q}^{2}}$=18，然后根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：∵菱形ABCD中，
∴點(diǎn)A，C關(guān)于BD對(duì)稱，
過A作AQ⊥BC于Q，交BD于P，
則AQ=PC+PQ的最小值=24，
∵AC=30，
∴CQ=$\sqrt{A{C}^{2}-A{Q}^{2}}$=18，
∵AB=BC，
∴BQ=AB-18，
∵AB²=BQ²+AQ²，
即AB²=（AB-18）²+24²，
∴AB=25．
∴菱形ABCD的邊長=25．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題及菱形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．