Question

2．如圖，AB是半圓O的直徑，點C是半圓O上一點，∠COB=60°，點D是OC的中點，連接BD，BD的延長線交半圓O于點E，連接OE，EC，BC．
（1）求證：△BDO≌△EDC．
（2）若OB=6，則四邊形OBCE的面積為18$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）證明方法比較多，根據(jù)全等三角形判定方法判定即可．
（2）先證明四邊形OBCE是菱形，求出對角線的長即可求面積．

解答 （1）證明：∵∠COB=60°且OB=OC，
∴△BOC為等邊三角形，∠OBC=60°，
又∵點D是OC的中點，
∴OD=CD，∠OBD=$\frac{1}{2}∠OBC$=30°，
又∵點C是半圓上一點且∠COB=60°，
∴∠CEB=$\frac{1}{2}∠COB$=30°，
∴∠OBD=∠CEB，
在△BDO與△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBD=∠CED}\\{∠BDO=∠EDC}\\{OD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△EDC（AAS）；
（2）∵∴△BDO≌△EDC，
∴EC=OB，
∵△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC=EC=EO，
∴四邊形OBCE是菱形，
∴S_菱形OBCE=$\frac{1}{2}$•OC•EB=$\frac{1}{2}$•6•6$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、菱形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定，記住菱形的面積等于對角線乘積的一半，屬于中考常考題型．