Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，-3），直線x=1為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，直線BC與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求△BCD的面積；
（3）點(diǎn)P為直線x=1右方拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），記A、B、C、P四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形面積為S，若S=$\frac{5}{2}$S_△BCD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的對(duì)稱性確定B（3，0），則設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后將C（0，-3）代入求出a即可得到拋物線的解析式，再把解析式配成頂點(diǎn)式即可得D的坐標(biāo)；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x-3，則求出E（1，-2），然后根據(jù)三角形面積公式，利用S_△BCD=S_△CDE+S_△BDE進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t²-2t-3），討論：當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，即1＜m＜3時(shí)，連結(jié)OP，如圖1，根據(jù)三角形面積公式，利用S=S_△AOC+S_△POC+S_△POB得到S=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6，則利用S=$\frac{5}{2}$S_△BCD得到2-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6=$\frac{5}{2}$×3，解方程得t₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍去），于是得到此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$）；當(dāng)點(diǎn)P在軸的上方時(shí)，即m＞3，如圖2，同樣方法得到2t²-4t=$\frac{5}{2}$×3，解方程得t₁=$\frac{2+\sqrt{19}}{2}$，t₂=$\frac{2-\sqrt{19}}{2}$（舍去），所以此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{2+\sqrt{19}}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴B（3，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
將C（0，-3）代入得-3=-3a，解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
∵y=（x-1）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
把C（0，-3），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=x-3=-2，則E（1，-2），
∴S_△BCD=S_△CDE+S_△BDE=$\frac{1}{2}$×（4-2）×1+$\frac{1}{2}$×（4-2）×2=3；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t²-2t-3），
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，即1＜m＜3時(shí)，連結(jié)OP，如圖1，
∵S=S_△AOC+S_△POC+S_△POB=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×3×t+$\frac{1}{2}$×3（-t²+2t+3）=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6，
而S=$\frac{5}{2}$S_△BCD，
∴-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6=$\frac{5}{2}$×3，
整理得t²-3t+1=0，解得t₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍去），此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$）；
當(dāng)點(diǎn)P在軸的上方時(shí)，即m＞3，如圖2，
∵S=S_△ABC+S_△PAB=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4（t²-2t-3）=2t²-4t，
而S=$\frac{5}{2}$S_△BCD
∴2t²-4t=$\frac{5}{2}$×3，
整理得4t²-8t-15=0，解得t₁=$\frac{2+\sqrt{19}}{2}$，t₂=$\frac{2-\sqrt{19}}{2}$（舍去），此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{2+\sqrt{19}}{2}$，$\frac{3}{4}$），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{2+\sqrt{19}}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，記住三角形的面積公式；會(huì)解一元二次方程；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．