Question

10．已知，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖①所示，A點坐標為（-4，0），B點坐標為（6，0），點D為AC的中點，點E為線段AB上一動點，連接DE經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+8．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，將△ADE以DE為軸翻折，點A的對稱點為點G，當點G恰好落在拋物線的對稱軸上時，求G點的坐標；
（3）如圖②，當點E在線段AB上運動時，拋物線y=ax²+bx+8的對稱軸上是否存在點F，使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)線段中點的性質，可得D點坐標，根據(jù)勾股定理，可得AC的長，根據(jù)翻折的性質，可得DG的長，再根據(jù)勾股定理，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．
（3）根據(jù)平行四邊形的性質，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+8經(jīng)過點A（-4，0），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+8=0}\\{36a+6b+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式是：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8；

（2）如圖1，
作DM⊥拋物線的對稱軸于點M，
設G點的坐標為（1，n），由翻折的性質，可得AD=DG，
∵A（-4，0），C（0，8），點D為AC的中點，
∴點D的坐標是（-2，4），
∴點M的坐標是（1，4），DM=1-（-2）=1+2=3，
∵B（6，0），C（0，8），
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AD=2$\sqrt{5}$，
在Rt△GDM中，DG²=DM²+MG²
3²+（4-n）²=20，解得n=4$±\sqrt{11}$，
∴G點的坐標為（1，4+$\sqrt{11}$）或（1，4-$\sqrt{11}$）；

（3）存在．
C（0，8），D（-2，4），符合條件的點E、F的坐標為：
①如圖2，
CD∥EF，且CD=EF，?CDEF時，對角線的交點（-$\frac{1}{2}$，4），E₁（-1，0），F(xiàn)₁（1，4）；
②如圖3，
CD∥EF，且CD=EF，?CDFE時，對角線的交點（$\frac{1}{2}$，2），E₂（3，0），F(xiàn)₂（1，-4）；
③如圖4，
DE∥CF，DE=CF，?DECF時，對角線的交點（-1，6），E₃（-3，0），F(xiàn)₃（1，12）．
綜上所述：E₁（-1，0），F(xiàn)₁（1，4）；E₂（3，0），F(xiàn)₂（1，-4）；E₃（-3，0），F(xiàn)₃（1，12）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關鍵是利用翻折的性質得出DG的長；解（3）的關鍵是利用平行四邊形的對角線互相平分，要分類討論，以防遺漏．