Question

2．如圖，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延長CA至點E，使AE=AC；延長CB至點F，使BF=BC．連接AD，AF，DF，EF．延長DB交EF于點N．
（1）求證：AD=AF；
（2）試判斷四邊形ABNE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，證出BF=CD，由SAS證明△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出得出∠AEF=∠ABD=90°，證出四邊形ABNE是矩形，由AE=AB，即可得出四邊形ABNE是正方形．

解答 （1）證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABF=135°，
∵∠BCD=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，
在△ABF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACD}\\{BF=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AD=AF；

（2）答：四邊形ABNE是正方形；理由如下：
證明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，
∴∠FAB=∠DAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠BAD，
在△AEF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAF=∠BAD}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ABD△AEF≌△ABD（SAS），
∴BD=EF；
∵CD=CB，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
∵∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，
∴∠AEF=∠ABD=90°，
∴四邊形ABNE是矩形，
又∵AE=AB，
∴四邊形ABNE是正方形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的判定、矩形的判定；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．