Question

12．已知如圖所示△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=$\sqrt{3}$，PB=1，PC=1，則∠BPC=135°．

Answer 1

分析 利用∠ACB=90°，AC=BC可把△CAP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBD，如圖，則利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CD，BD=AP=$\sqrt{3}$，∠PCD=90°，于是可判斷△PCD為等腰直角三角形得到PD=$\sqrt{2}$CP=$\sqrt{2}$，∠CPD=45°，然后利用勾股定理的逆定理證明△PBD為直角三角形得到∠BPD=90°，然后計(jì)算∠BPD+∠CPD即可．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴把△CAP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBD，如圖，
∴CP=CD，BD=AP=$\sqrt{3}$，∠PCD=90°，
∴△PCD為等腰直角三角形，
∴PD=$\sqrt{2}$CP=$\sqrt{2}$，∠CPD=45°，
在△BDP中，∵PB=1，PD=$\sqrt{2}$，DB=$\sqrt{3}$，
而1²+（$\sqrt{2}$）²=（$\sqrt{3}$）²，
∴PB²+DP²=BD²，
∴△PBD為直角三角形，∠BPD=90°，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=90°+45°=135°．
故答案為135°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是把∠BPC分為兩個(gè)角，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理求出這兩個(gè)角的度數(shù)．