Question

16．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O為△ABC的外心，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是△ACD的重心，求證：OE⊥CD．

Answer 1

分析 如圖，延長AO交BC于M，J交CD于G，延長DE交AC于F，連接FM、EG，首先證明EG∥FM∥AB，再證明G是△ODE的垂心即可．

解答 證明：如圖，延長AO交BC于M，J交CD于G，延長DE交AC于F，連接FM、EG．

∵AB=AC，O是外心，
∴AM⊥BC，CM=BM，
∵E是重心，
∴EF：DE=1：2，
∵AM、CD是中線，
∴G是△ABC的重心，
∴GD：GC=1：2，
∵FM∥AB，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$AB，
∴CK=KD，
∴DG：GK=$\frac{1}{3}$CD：（$\frac{1}{2}$CD-$\frac{1}{3}$CD）=2：1，
∴DE：EF=DG：GK，
∴EG∥FK，
∵OD⊥AB，EG∥FM∥AB，
∴EG⊥OD，
∵DF∥BC，AM⊥BC，
∴OE⊥ED，
∴點(diǎn)G是△ODE的垂心，
∴EO⊥DG，即OE⊥CD．

點(diǎn)評 本題考查三角形外接圓與外心、三角形的重心、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、垂心等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，想到證明G是△ODE的垂心是解題的突破口，題目有難度，輔助線比較多．