Question

6．在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別$\sqrt{2}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{17}$，求這個(gè)三角形的面積．

小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．
（1）請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上．2.5
思維拓展
（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為2$\sqrt{2}$a，$\sqrt{10}$a，$\sqrt{26}$a（a＞0），請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．
（3）若△ABC三邊的長分別為$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$，$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$，2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$（m＞0，n＞0，m≠n），請(qǐng)運(yùn)用構(gòu)圖法在圖3指定區(qū)域內(nèi)畫出示意圖，并求出△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）用長為4，寬為2的矩形減去3個(gè)三角形的面積，即可求得答案；
（2）2$\sqrt{2}$a是以2a，2a為直角邊的直角三角形的斜邊長；$\sqrt{10}$a是以a，3a為直角邊的直角三角形的斜邊長；$\sqrt{26}$a是以a，5a為直角邊的直角三角形的斜邊長；繼而可作出三角形，然后求得面積；
（3）$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$是以m，2n為直角邊的直角三角形的斜邊長；$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$是以m，4n為直角邊的直角三角形的斜邊長；2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$是以2m，2n為直角邊的直角三角形的斜邊長；繼而可作出三角形，然后求得三角形的面積．

解答 解：（1）S_△ABC=2×4-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×1×4=2.5；
故答案為：2.5；

（2）如圖2，AB=2$\sqrt{2}$a，BC=$\sqrt{10}$a，AC=$\sqrt{26}$a，
∴S_△ABC=2a×5a-$\frac{1}{2}$×2a×2a-$\frac{1}{2}$×3a×a-$\frac{1}{2}$×a×5a=4a²；

（3）如圖3，AB=$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$，AC=$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$，BC=2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$；
∴S_△ABC=2m×4n-$\frac{1}{2}$×2m×2n-$\frac{1}{2}$×m×4n-$\frac{1}{2}$×m×2n=3mn．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積問題．注意掌握利用勾股定理的知識(shí)畫無理數(shù)是解此題的關(guān)鍵．