Question

16．如圖，C、D是以AB為直徑的半圓上兩點，且$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$
（1）若CD∥AB，證明：直線AC平分∠DAB；
（2）作DE⊥AB交AC于E，證明：CD²=AE•AC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACD=∠BAC，由$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，得到∠ACD=∠DAC，等量代換即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)垂直的定義得到∠ADE+∠DAB=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠DBA+∠DAB=90°，等量代換得到∠ADE=∠ACD，推出△ADE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠BAC，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ACD=∠DAC，
∴∠DAC=∠ACD，
∴直線AC平分∠DAB；

（2）∵DE⊥AB，
∴∠ADE+∠DAB=90°，
∵AB是直徑，
∴∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠ADE=∠a=ABD，
∵∠ABD=∠DCA，
∴∠ADE=∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∴AD²=AE•AC，
∵AD=CD，
∴CD²=AE•AC．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，角平分線的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．