Question

10．關于x的方程x²-2（k-1）x+k²-1=0的兩個實數根的平方和等于16，k的值為-1．

Answer 1

分析 根據根與系數的關系求得x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²-1，然后將其代入x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂列出關于k的新方程，通過解新方程即可求得k的值．

解答 解：∵關于x的方程x²-2（k-1）x+k²-1=0有兩個實數根，
∴△=4（k-1）²-4（k²-1）≥0，
解得，k≤1．
設方程x²-2（k-1）x+k²-1=0兩個實數根為x₁、x₂．則
x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（k-1）²-2（k²-1）=16，即k²-4k-5=0，
解得，k₁=-1，k₂=5（不合題意，舍去），
故答案是：-1．

點評 此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．