Question

10．如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠ACO：∠BOC=1：2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．
（1）將圖（1）中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為90度；
（2）繼續(xù)將圖2中的直角三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至ON落在∠AOC的內(nèi)部（如圖3位置）．
①當三角板的直角邊ON恰好平分∠AOC時，此時三角板從圖2位置旋轉(zhuǎn)到該位置時旋轉(zhuǎn)的角度為150度．
②試探究圖3位置時，∠AOM與∠CON之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，旋轉(zhuǎn)角是∠MON；
（2）①如圖3，利用平角的定義，結(jié)合已知條件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°，進而得出∠AON=30°，∠AOM=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得旋轉(zhuǎn)角度為150°；
②由∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，即可推知∠AOM-∠NOC=30°．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，旋轉(zhuǎn)角∠MON=90°．
故答案是：90；

（2）①如圖3，設∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得∠BOC=2α．
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴α+2α=180°．
解得 α=60°．
即∠AOC=60°．
當三角板的直角邊ON恰好平分∠AOC時，∠AON=30°，
∴∠AOM=60°，
∴旋轉(zhuǎn)角度為：90°+60°=150°；
故答案為：150；
②∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．
故∠AOM-∠NOC=30°．

點評 本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的計算．認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．．