Question

5．如圖，在平面直角坐標系內，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．
（1）當t為何值時，△APQ與△AOB相似？
（2）當t為何值時，△APQ的面積為$\frac{24}{5}$個平方單位？
（3）△APQ的面積是否有極值（最大值或有最小值）？若有，求出當t等于多少時有極值并求出這個極值；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于△APQ與△AOB對應關系不確定，需分情況討論，可分兩種情況（△APQ∽△AOB或△APQ∽△ABO）討論，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；
（2）過點Q作QH⊥AO于H，如圖所示，易證△AHQ∽△AOB，根據相似三角形的性質可用t的代數式表示出QH，從而得到△APQ的面積與t的關系，根據條件就可求出t的值；
（3）先用配方法將△APQ的面積與t函數關系式轉化為二次函數的頂點式，然后利用二次函數的最值性就可解決問題．

解答 解：（1）由題可得AP=t，BQ=2t．
∵A（0，6）、B（8，0），∴OA=6，OB=8．
∵∠AOB=90°，AB=10．
①若△APQ∽△AOB，則$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得：t=$\frac{30}{11}$．
②若△APQ∽△ABO，則$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得：t=$\frac{50}{13}$，
綜上所述：當t=$\frac{30}{11}$秒或$\frac{50}{13}$秒時，△APQ與△AOB相似；

（2）過點Q作QH⊥AO于H，如圖所示，
則有∠AHQ=∠AOB=90°．
又∵∠HAQ=∠OAB，∴△AHQ∽△AOB，
∴$\frac{QH}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴$\frac{QH}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴QH=$\frac{40-8t}{5}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$t•$\frac{40-8t}{5}$=$\frac{20t-4{t}^{2}}{5}$．
當S_△APQ=$\frac{24}{5}$時，$\frac{20t-4{t}^{2}}{5}$=$\frac{24}{5}$，
解得：t₁=2，t₂=3．
∴當t為2秒或3秒時，△APQ的面積為$\frac{24}{5}$個平方單位；

（3）由（2）得：當0＜t＜5時，S_△APQ=$\frac{20t-4{t}^{2}}{5}$
=-$\frac{4}{5}$（t²-5t）=-$\frac{4}{5}$[（t-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{25}{4}$]=-$\frac{4}{5}$（t-$\frac{5}{2}$）²+5．
∵-$\frac{4}{5}$＜0，∴當t=$\frac{5}{2}$時，S_△APQ取最大值，最大值為5．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、二次函數的最值性等知識，運用分類討論的思想是解決第（1）小題的關鍵，運用配方法是解決第（3）小題的關鍵．