Question

已知正方形ABCD中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上，∠EBC=∠BEF，連接BD．下列結(jié)論：
①EB平分∠AEF；②∠EBD=

1

2

∠EFD；③AE+CF=EF；④S_△DFP≤

1

8

S_{正方形ABCD}；⑤DE²=DP•DB；
其中正確的有（　�。�

• A、2個(gè)
• B、3個(gè)
• C、4個(gè)
• D、5個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明∠AEB=∠EBC，即可證明①正確；
（2）根據(jù)外角等于不相鄰兩內(nèi)角和、對(duì)頂角相等的性質(zhì)即可證明②正確；
（3）作BM⊥EF，連接BF，可證明EA=EM，F(xiàn)C=FM，即可解題；
（4）根據(jù)EF=AE+CF，只有E、F均為AD，CD中點(diǎn)時(shí)，△DEF面積有最大值；
（5）只有在∠ABE=30°時(shí)，才能證明△EDP∽△BDE，結(jié)論才成立，即可證明本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠EBC=∠BEF，
∴∠AEB=∠BEF，
∴EB平分∠AEF；①正確；
（2）∵∠AEF=∠ADC+∠EFD，
∴∠AEB=

1

2

（90°+∠EFD），
∴∠BEF=

1

2

（90°+∠EFD），
∵∠BEF+∠EBP=∠EFD+∠BDC，
∴

1

2

（90°+∠EFD）+∠EBP=∠EFD+45°，
∴∠EBP=

1

2

∠EFD；②正確；
（3）作BM⊥EF，連接BF，

∵EB平分∠AEF，
∴BA=BM，
在RT△AEB和RT△MEB中，

BA=BM BE=BE

，
∴RT△AEB和RT△MEB（HL）
∴EA=EM，
同理RT△BMF和RT△BCF，
∴FC=FM，
∴AE+CF=EF；③正確；
（4）∵EF=AE+CF，
∴只有在E、F均為AD，CD中點(diǎn)時(shí)，
△DEF面積有最大值S_△DFP=

1

2

EF•DP（此時(shí)DP⊥EF）=

1

8

S_{正方形ABCD}，∴④正確．
（5）只有△EDP∽△BDE時(shí)，DE²=DP•DB才成立，∴⑤不正確；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)．