Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)E沿A→D的方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1cm；點(diǎn)F沿A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm，當(dāng)點(diǎn)E、F有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)（即點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D，點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C），運(yùn)動(dòng)結(jié)束，以線段EF為邊向右側(cè)作正方形EFGH，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)G落在BC邊上？
（2）若正方形EFGH與矩形ABCD重疊部分的面積為S（cm²），當(dāng)0＜t≤8時(shí)，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)D落在正方形EFGH的GH邊上？若存在，請直接寫出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)G落在BC邊上時(shí)，只要證明△AFE≌△BGF，推出AF=BG=2t．BF=AE=t，根據(jù)AB=6列出方程即可解決．
（2）分四種情形討論：①如圖2中，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分是正方形EFGH．②如圖3中，當(dāng)2＜t≤3，重疊部分是五邊形EFIJH．③如圖4中，當(dāng)3＜t≤6時(shí)，重疊部分是四邊形EFJH，作EK⊥BC于點(diǎn)K．④如圖5中，當(dāng)6＜t≤8時(shí)，重疊部分是四邊形EFGM，分別求出重疊部分面積即可．
（3）存在．t=3+$\sqrt{33}$．如圖6中，作EK⊥BC于K，由△EFK∽△EDH，得到$\frac{EF}{ED}$=$\frac{EK}{EH}$，即EF²=EK•ED，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)G落在BC邊上時(shí)，

∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=FG，∠EFG=90°，
∴∠AFE+∠BFG=90°，
∵∠BFG+∠BGF=90°，
∴∠AFE=∠BGF，
在△AFE和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠AFE=∠BGF}\\{EF=FG}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BGF，
∴AF=BG=2t．BF=AE=t，
∵AF+BF=AB，
∴2t+t=6，
∴t=2，
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，點(diǎn)G落在BC邊上．

（2）①如圖2中，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分是正方形EFGH．

∵AE=t，AF=2t，
∴S=EF²=AE²+AF²=5t²．
②如圖3中，當(dāng)2＜t≤3，重疊部分是五邊形EFIJH．
設(shè)FG交BC于點(diǎn)I，GH交BC于J，則△AEFGJI∽△BFI∽△GJI，

∵AB=6，AF=2t，
∴BF=6-2t，F(xiàn)I=$\sqrt{5}$（6-2t）．IG=$\sqrt{5}$t-$\sqrt{5}$（6-2t）=$\sqrt{5}$（3t-6），
∴$\frac{{S}_{△GJI}}{{S}_{△AEF}}$=$\frac{I{G}^{2}}{A{F}^{2}}$=$\frac{5（3t-6）^{2}}{4{t}^{2}}$，
∴S_△GJI=$\frac{5（3t-6）^{2}}{4{t}^{2}}$•$\frac{1}{2}$•t•2t=$\frac{45}{4}$t²-45t+45，
∴S=S_{正方形EFGH}-S_△GJI=5t²-（$\frac{45}{4}$t²-45t+45）=-$\frac{25}{4}$t²+45t-45．
③當(dāng)正方形EFGH的邊FG落在BC上時(shí)，AE=BF，
∴t=2t-6，
∴t=6，
如圖4中，當(dāng)3＜t≤6時(shí)，重疊部分是四邊形EFJH，作EK⊥BC于點(diǎn)K，

由△FJG∽△EFK，
∴$\frac{{S}_{△FJG}}{{S}_{△EFK}}$=$\frac{F{G}^{2}}{E{K}^{2}}$，
∵BF=2t-6，BK=AE=t，
∴FK=t-（2t-6）=6-t，
S_△EFK=$\frac{1}{2}$（6-t）•6=3（6-t），F(xiàn)G²+（6-t）²，
∴S_△FJG=$\frac{{6}^{2}+（6-t）^{2}}{{6}^{2}}$•3（6-t），
∴S=S_{正方形EFGH}-S_△FJG=6²+（6-t）²-$\frac{{6}^{2}-（6-t）^{2}}{{6}^{2}}$•3（6-t）=$\frac{1}{12}$t³-$\frac{1}{2}$t²+36．
④當(dāng)點(diǎn)G落在CD時(shí)上，
由△EFK≌△FGC，得FC=EK=6，
∵BF=2t-6，BF+FC=BC，
∴2t-6+6=16，
∴t=8，
如圖5中，當(dāng)6＜t≤8時(shí)，重疊部分是四邊形EFGM，

由△EMH∽△EFK，得$\frac{{S}_{△EMH}}{{S}_{△EFK}}$=$\frac{E{H}^{2}}{E{K}^{2}}$，
∵BF=2t-6，BK=AE=t，
∴KF=2t-6-t=t-6，
∴S_△EFK=$\frac{1}{2}$（t-6）•6=3（t-6），EH²=EF²=6²+（t-6）²，
∴S_△EMH=$\frac{{6}^{2}+（t-6）^{2}}{{6}^{2}}$•3（t-6），
∴S=S_{正方形EFGH}-S_△EHM=6²+（t-6）²-$\frac{{6}^{2}+（t-6）^{2}}{{6}^{2}}$•3（t-6）=-$\frac{1}{12}$t³+$\frac{5}{2}$t²-24t=108．

（3）存在．t=3+$\sqrt{33}$．
理由：如圖6中，作EK⊥BC于K，

∵△EFK∽△EDH，
∴$\frac{EF}{ED}$=$\frac{EK}{EH}$，
∴EF•EH=EK•ED，
∴EF²=EK•ED，
∴6²+（t-6）²=6（16-t），
∴t=3+$\sqrt{33}$或3-$\sqrt{33}$（舍棄）．
∴t=（3+$\sqrt{33}$）秒時(shí)，點(diǎn)D落在正方形EFGH的GH邊上．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)．相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，需要正確畫出圖形，學(xué)會(huì)利用分割法求面積，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想解決問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程去思考，屬于中考壓軸題．