Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為3的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)．現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖）．在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，△MBN的周長(zhǎng)為6．

Answer 1

分析 通過證△OAE≌△OCN（ASA）和△OME≌△OMN（SAS），把△MBN的各邊整理成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子即可．

解答 解：∵A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是45°，
∴OA旋轉(zhuǎn)了45°．
如圖所示：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，
則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN，
在△OAE和△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOA=∠CON}\\{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCN}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=ON}\\{∠EOM=∠MON}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴△MBN的周長(zhǎng)為：MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=6．
故答案是：6．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，注意求一些線段的長(zhǎng)度或角的度數(shù)，總要整理到已知線段的長(zhǎng)度上或已知角的度數(shù)上進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵．