Question

8．如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=6，AC=4，CD是△ABC的中線，將△ABC沿直線CD翻折，點(diǎn)B′是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CD上的點(diǎn)，如果∠CAE=∠BAB′，那么CE的長(zhǎng)是$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 先證明∠AB′B=90°，再證明△ACE∽△ABB′，得到∠AEC=90°，利用面積法求出AE，再利用勾股定理求出EC即可．

解答 解：如圖，∵△CDB′是由□CDB翻折，
∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CDB′，AD=DB=DB′，
∴∠DBB′=∠DB′B，
∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，
∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，
∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，
∴∠ABB′=∠ACE，
∵AD=DB=DB′=3，
∴∠AB′B=90°，
∵∠ACE=∠ABB′，∠CAE=∠BAB′，
∴△ACE∽△ABB′，
∴∠AEC=∠AB′B=90°，
在RT△AEC中，∵AC=4，AD=3，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$AC•AD=$\frac{1}{2}$•CD•AE，
∴AE=$\frac{AC•AD}{CD}$=$\frac{12}{5}$，
在RT△ACE中，CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$．
故答案為$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用相似三角形證明直角，屬于中考�？碱}型．