Question

11．如圖，BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在邊BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF=∠A．
（1）求證：BE=AF；
（2）設BD與EF交于點M，聯結AE交BD于點N，求證：BN•MD=BD•ND．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ADEF為平行四邊形得到AF=DE，再證明∠DBE=∠BDE得到BE=DE，則BE=AF；
（2）如圖，根據平行線分線段成比例定理，由EF∥AC得到AF：AB=DM：BD，等線段代換得DE：AB=DM：BD，再由DE∥AB得到DE：AB=DN：BN，則DM：BD=DN：BN，然后利用比例的性質即可得到結論．

解答 證明：（1）∵DE∥AB，
∴∠A+∠ADE=180°，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF+∠ADE=180°，
∴EF∥AD，
∴四邊形ADEF為平行四邊形，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠DBE=∠ABD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（2）如圖，∵EF∥AC，
∴AF：AB=DM：BD，
∵AF=DE，
∴DE：AB=DM：BD，
∵DE∥AB，
∴DE：AB=DN：BN，
∴DM：BD=DN：BN，
即BN•MD=BD•ND．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：兩個三角形相似對應角相等，對應邊的比相等．在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．解決本題的關鍵是靈活應用平行線分線段成比例定理．