Question

19．（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連結BE、CD，請你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并證明：BE=CD；
（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連結BE、CD，猜想BE與CD有什么數(shù)量關系？并說明理由；
（3）運用（1），（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖（3），要測量池塘兩岸相對的兩點B、E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長（結果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）作圖：分別以點A、B為圓心，以AB為半徑畫弧，交于點D，連接AD、BD；再分別以A、C為圓心，以AC為半徑畫弧，交于E，連接AE、CE，則△ABD、△ACE就是所求作的等邊三角形；
利用等邊三角形的性質(zhì)證明△DAC≌△BAE可以得出結論；
（2）相等，利用正方形性質(zhì)證明△DAC≌△BAE，則BE=CD；
（3）構建等腰直角△ABD，得BE=CD，利用勾股定理求CD的長，即是BE的長．

解答 證明：（1）如圖1，∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD；
（2）如圖2，BE=CD，
∵正方形ABFD和正方形ACGE，
∴∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD；
（3）由（1）（2）的解題經(jīng)驗可知：過點A向△ABC外作等腰直角△ABD，使∠DAB=90°，AD=AB=100，∠ABD=45°，
∴BD=100$\sqrt{2}$，
如圖3，連接CD，則由（2）可得：BE=CD，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100，BD=100$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{10{0}^{2}+（100\sqrt{2}）^{2}}$=100$\sqrt{3}$，
∴BE=CD=100$\sqrt{3}$，
答：BE的長為100$\sqrt{3}$米．

點評 本題是一個由三角形向外作兩個等邊三角形或正方形得一相同結論，并利用這一結論解決生活中的實際問題；考查了等邊三角形、正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)；找出圖形中三角形全等是解決此題的關鍵；并利用勾股定理計算邊長．