Question

6．如圖，將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q．設(shè)AP=x．當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式及定義域．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可證明△QNP≌△PMB，可證明PQ=PB，設(shè)AP=x，結(jié)合PQ=PB可分別表示出AM、BM、CQ和PN，可表示出△PBC和△PCQ的面積，從而表示出四邊形PBCQ的面積，從而得到y(tǒng)與x的關(guān)系式．

解答 解：過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，如圖1，

則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形，
∴NP=NC=MB．
∵∠BPQ=90°，
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°，
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°
在△QNP和△PMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QPN=∠PBM}\\{NP=MB}\\{∠QNP=∠PMB}\end{array}\right.$，
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴NQ=MP；
設(shè)AP=x，則AM=MP=NQ=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，BM=PN=CN=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴CQ=CD-DQ=1-2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1-$\sqrt{2}$x
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC•BM=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
S_△PCQ=$\frac{1}{2}$CQ•PN=$\frac{1}{2}$×（1-$\sqrt{2}$x）（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x+$\frac{1}{2}$x²，
∴S_{四邊形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x+1，
即y=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x+1（0≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)．構(gòu)造三角形全等和用x分別表示出△PBC和△PCQ的面積是解題的關(guān)鍵．