Question

14．如圖，已知 A（-4，0），B（0，4），現(xiàn)以A點為位似中心，相似比為4：9，將OB向右側放大，B點的對應點為C．
（1）求C點坐標及直線BC的解析式；
（2）一拋物線經過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象；
（3）若點P是直線BC下方拋物線上的一點，求使△PBC面積為10時點P的坐標；
（4）現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交于另一點Q，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為3$\sqrt{2}$的點Q．

Answer 1

分析 （1）利用相似及相似比，可得到C的坐標．把A，B代入一次函數(shù)解析式即可求得解析式的坐標．
（2）頂點落在x軸正半軸上說明此函數(shù)解析式與x軸有一個交點，那么△=0，再把B，C兩點即可．
（3）如圖由S_△OBC=$\frac{1}{2}$×4×5=10，過點O作BC的平行線交拋物線于P₁，P₂，此時△PBC的面積為10，構建方程組求交點坐標即可；
（4）到直線AB的距離為3 $\sqrt{2}$的直線有兩條，可求出這兩條直線解析式，和二次函數(shù)解析式組成方程組，求得點Q坐標．

解答 解：（1）過C點向x軸作垂線，垂足為D，由位似圖形性質可知△ABO∽△ACD，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{BO}{CD}$=$\frac{4}{9}$．
由已知A（-4，0），B（0，4）可知
AO=4，BO=4．
∴AD=CD=9，
∴C點坐標為（5，9），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
∵A（-4，0），B（0，4）在一次函數(shù)解析式上，那么
-4k+b=0，b=4，
解得k=1，
化簡得y=x+4；

（2）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a＞0），由題意得
$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{25a+5b+c=9}\\{^{2}-4ac=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{25}}\\{b=\frac{4}{5}}\\{c=4}\end{array}\right.$．，
∴解得拋物線解析式為y₁=x²-4x+4或y₂=$\frac{1}{25}$x²+$\frac{4}{5}$x+4，
又∵y₂=$\frac{1}{25}$x²+$\frac{4}{5}$x+4的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故舍去．
∴滿足條件的拋物線解析式為y=x²-4x+4，
函數(shù)y=x²-4x+4圖象如圖所示．

（3）如圖∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$×4×5=10，

過點O作BC的平行線交拋物線于P₁，P₂，此時△PBC的面積為10．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-4x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴P₁（1，1），P₂（4，4）

（4）將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交于另一點P，設Q到直線AB的距離為h，
故Q點應在與直線AB平行，且相距3 $\sqrt{2}$的上下兩條平行直線l₁和l₂上．
由平行線的性質可得
兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為3 $\sqrt{2}$，
如圖，設l₁與y軸交于E點，過E作EF⊥BC于F點，

在Rt△BEF中EF=h=3 $\sqrt{2}$，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直線l₁與y軸交點坐標為（0，10），
同理可求得直線l₂與y軸交點坐標為（0，-2），
∴兩直線解析式l₁：y=x+10；l₂：y=x-2．
根據題意列出方程組：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+4}\\{y=x+10}\end{array}\right.$；（2）$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+4}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=16}\end{array}\right.$；$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=9}\end{array}\right.$；$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$； $\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴滿足條件的點P有四個，
它們分別是Q₁（6，16），Q₂（-1，9），Q₃（2，0），Q₄（3，1）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法、兩直線平行的條件、二元二次方程組等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構建方程組解決交點問題，屬于中考壓軸題．