Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D為邊BC的中點，以AB、BD為鄰邊作?ABDE，連結AD、EC．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？（直接寫出滿足的條件即可）

Answer 1

分析 （1）先根據等腰三角形三線合一的性質證明∠ADC=90°，再根據有一組對邊平行且相等證明四邊形ADCE是平行四邊形，所以四邊形ADCE是矩形；
（2）當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．

解答 證明：（1）∵在△ABC中，AB=AC，點D為邊BC的中點，
∴BD=DC，∠ADC=90°，
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE∥BD且AE=BD，
∴AE∥DC且AE=DC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
又∠ADC=90°，
∴四邊形ADCE是矩形；
（2）當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形；
理由是：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
∵∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
∴矩形ADCE是正方形．

點評 本題考查了平行四邊形、矩形、正方形的性質和判定、等腰直角三角形的性質和判定、等腰三角形三線合一的性質，熟練掌握矩形和正方形的判定是關鍵．