Question

9．如圖，在正方形ABCD中，分別以AD，BC為斜邊作Rt△ADE和Rt△CBF，且Rt△ADE≌Rt△CBF，連結(jié)EF，若S_{正方形ABCD}=20，S_△ADE=3，則EF=4．

Answer 1

分析 作輔助線(xiàn)，構(gòu)建直角三角形和高線(xiàn)，先根據(jù)已知的面積求出正方形邊長(zhǎng)和ME的長(zhǎng)，再根據(jù)等量關(guān)系式：①DE²+AE²=AD²，②DM+AM=AD，列方程組求出x的值，即DE²=2，再計(jì)算EG和FG的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求EF的長(zhǎng)．

解答 解：如圖，過(guò)E作EM⊥AD，EN⊥DC，垂足分別為M、N，過(guò)F作FH⊥BC于H，過(guò)F作BC的平行線(xiàn)與ME的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD∥BC，
∴△EGF是直角三角形，
∵S_{正方形ABCD}=20，
∴AD=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
∵S_△ADE=3，
∴$\frac{1}{2}$AD•ME=3，
則$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×ME=3，
∴ME=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
設(shè)DE²=x，AE²=y，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=20}\\{\sqrt{x-M{E}^{2}}+\sqrt{y-M{E}^{2}}=\sqrt{20}}\end{array}\right.$，
y=20-x，ME²=（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{9}{5}$，
則$\sqrt{x-\frac{9}{5}}$+$\sqrt{20-x-\frac{9}{5}}$=$\sqrt{20}$，
化簡(jiǎn)得：x²-20x=-36，
解得：x₁=18（舍），x₂=2，
∴DE²=2，
∴NE=$\sqrt{D{E}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{2-\frac{9}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴FH=EM=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴EG=2$\sqrt{5}$-2ME=2$\sqrt{5}$-2×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
FG=2$\sqrt{5}$-2NE=2$\sqrt{5}$-2×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
由勾股定理得：EF²=EG²+FG²，
∴EF=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{8\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\sqrt{16}$=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，在四邊形中常利用勾股定理求邊的長(zhǎng)，本題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，構(gòu)建直角三角形和三角形的高線(xiàn)，巧妙地根據(jù)勾股定理列方程組，使問(wèn)題得以解決，另外本題的計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，要細(xì)心．