Question

12．已知點M（-3，0），點N 是點M關(guān)于原點的對稱點，點A是函數(shù)y=-x+1 圖象上的一點，若△AMN是直角三角形，則點A的坐標(biāo)為（-3，4）、（3，-2）、（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）．

Answer 1

分析 分別過點M、N作x軸垂線與直線交點即為所求，由M、N點坐標(biāo)可得點A坐標(biāo)；在直線上取一點（x，-x+1），根據(jù)AM²+AN²=MN²列出關(guān)于x的方程，解方程可得第三種情況下點A的坐標(biāo)．

解答 解：①如圖，過點M（-3，0）作x軸垂線交直線y=-x+1于點A₁，則A₁的坐標(biāo)為（-3，4）；

②過點N（3，0）作x軸垂線交直線y=-x+1于點A₂，則A₂的坐標(biāo)為（3，-2）；
③設(shè)直線y=-x+1上的點A₃坐標(biāo)為（x，-x+1），
根據(jù)題意，A₃M²+A₃N²=MN²，即（-3-x）²+（x-1）²+（3-x）²+（x-1）²=6²，
整理，得：x²-4x-4=0，
解得：x=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$時，y=-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$+1=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$時，y=-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$+1=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴點A₃的坐標(biāo)為（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），
故答案為：（-3，4）、（3，-2）、（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）．

點評 本題主要考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)、兩點間距離公式、勾股定理，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．