Question

1．如圖，在△ABC中．∠B=60°，⊙0是△ABC的外接圓．過點(diǎn)A的直線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，CP交⊙O于點(diǎn)D，且滿足PA²=PD•PC．
（1）求證：PA為⊙O的切線；
（2）若AC=3，求PD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AO，AD，根據(jù)PA²=PD•PC可得出△APD∽△CPA，由相似三角形的性質(zhì)可得出∠PAD=∠PCA，再由圓周角定理得出∠DAC=90°，利用等量代換即可得出結(jié)論；
（2）先由圓周角定理得出∠ADC=60°，再由三角形外角的性質(zhì)得出∠PAD=30°，故可得出AD=PD．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖，連接AO，AD，
∵PA²=PD•PC，
∴$\frac{PA}{PD}$=$\frac{PC}{PA}$．
∵∠APD=∠CPA，
∴△APD∽△CPA，
∴∠PAD=∠PCA．
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠DAC=90°，即∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠OAD+∠PAD=90°，即∠PAO=90°，
∴PA是⊙O的切線．

（2）解：∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°．
∵∠DAC=90°，
∴∠ACD=30°，即∠PAD=30°，
∴∠P=∠ADC-∠PAD=60°-30°=30°，
∴AD=PD．
在Rt△ADC中，tan∠ADC=$\frac{AC}{AD}$，
∵AC=3，∠ADC=60°，
∴AD=$\frac{AC}{tan∠ADC}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，即PD=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．