Question

8．觀察下列各式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$；$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$；…
（1）填空：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
（2）計算（寫出計算過程）：$\sqrt{2014+\frac{1}{2016}}$；
（3）請用含自然數(shù)n（n≥1）的代數(shù)式把你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知等式得出規(guī)律，寫出所求結果即可；
（2）利用二次根式性質計算得到結果即可；
（3）歸納總結得到一般性規(guī)律，寫出即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
故答案為：5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
（2）$\sqrt{2014+\frac{1}{2016}}$=$\sqrt{\frac{2014×2016+1}{2016}}$=$\sqrt{\frac{（2015+1）×（2015-1）+1}{2016}}$=$\sqrt{\frac{201{5}^{2}-1+1}{2016}}$=2015$\sqrt{\frac{1}{2016}}$；
（3）歸納總結得：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（自然數(shù)n≥1）．

點評 此題考查了二次根式的性質與化簡，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．